Precálculo Ejemplos

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Paso 1

Reescribe $e^{4 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Paso 2

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Paso 3

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Reescribe $u^{4}$ como ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Paso 4.2.2

Sea $u = u^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $u^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza $u^{2} - 6 u - 16$ con el método AC.

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Paso 4.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 8, 2$

Paso 4.2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Paso 4.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Paso 4.4

Establece $u^{2} - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.4.1

Establece $u^{2} - 8$ igual a $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $u^{2} - 8 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.4.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} = 8$

Paso 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Paso 4.4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{8}$ .

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Paso 4.4.2.3.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.4.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Paso 4.4.2.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 4.4.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.5

Establece $u^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.5.1

Establece $u^{2} + 2$ igual a $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $u^{2} + 2 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} = - 2$

Paso 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 4.5.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 4.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 4.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

Paso 4.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = i \sqrt{2}$

Paso 4.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - i \sqrt{2}$

Paso 4.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 5

Sustituye $2 \sqrt{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Paso 6

Resuelve $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Paso 6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Paso 6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Paso 6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Paso 6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Paso 7

Sustituye $- 2 \sqrt{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Paso 8

Resuelve $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Paso 8.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 2 \sqrt{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 8.4

No hay soluciones para $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

No hay solución

Paso 9

Sustituye $i \sqrt{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Paso 10

Resuelve $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Paso 10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Paso 10.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Paso 10.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Paso 10.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Paso 10.4

Expande el lado derecho.

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Paso 10.4.1

Reescribe $\ln (i \sqrt{2})$ como $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Paso 10.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.4.3

Expande $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Paso 10.4.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Paso 10.5

Simplifica.

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Paso 10.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.5.1.1

Reescribe $\frac{\ln (2)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Paso 10.5.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Paso 11

Sustituye $- i \sqrt{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Paso 12

Resuelve $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Paso 12.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Paso 12.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Paso 12.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- i \sqrt{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 12.4

No hay soluciones para $e^{x} = - i \sqrt{2}$

No hay solución

Paso 13

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$