Precálculo Ejemplos

$e^{x} - e^{- x} - 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u - u^{- 1} - 1 = 0$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} - 1 = 0$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} - 1 = 0$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} - 1 = 0$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{u}$ al numerador.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 1 - u = 0 u$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $0$ por $u$ .

$u^{2} - 1 - u = 0$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.3.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

Sustituye $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Paso 6

Resuelve $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 7

Sustituye $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Paso 8

Resuelve $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 8.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 8.4

No hay soluciones para $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

No hay solución

Paso 9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Forma decimal:

$x = 0.48121182 \dots$