Precálculo Ejemplos

$e^{- x} = 125^{2 x + 3}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (125^{2 x + 3})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$- x \ln (e) = \ln (125^{2 x + 3})$

Paso 2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (125^{2 x + 3})$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x = \ln (125^{2 x + 3})$

Paso 3

Expande $\ln (125^{2 x + 3})$ ; para ello, mueve $2 x + 3$ fuera del logaritmo.

$- x = (2 x + 3) \ln (125)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x = 2 x \ln (125) + 3 \ln (125)$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) = x$

Paso 6

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) - x = 0$

Paso 7

Suma $3 \ln (125)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \ln (125) - x = 3 \ln (125)$

Paso 8

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (125) - x$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (125)$ .

$x (- 2 \ln (125)) - x = 3 \ln (125)$

Paso 8.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1 = 3 \ln (125)$

Paso 8.3

Factoriza $x$ de $x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1$ .

$x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$

Paso 9

Divide cada término en $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ por $- 2 \ln (125) - 1$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ por $- 2 \ln (125) - 1$ .

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 2 \ln (125) - 1$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 \ln (125)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1}$

Paso 9.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1 (1)}$

Paso 9.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 \ln (125)) - 1 (1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125) + 1)}$

Paso 9.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 9.3.4.1

Reescribe $- (2 \ln (125) + 1)$ como $- 1 (2 \ln (125) + 1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 1 (2 \ln (125) + 1)}$

Paso 9.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Forma decimal:

$x = - 1.35924252 \dots$