Precálculo Ejemplos

$\sin^{2} (3 x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (3 x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\sin (3 x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Paso 1.2

Aplica la razón del ángulo triple sinusoidal.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Paso 1.3

Suma $3 \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Paso 1.4

Aplica la razón del ángulo triple sinusoidal.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \sin (x)) = 0$

Paso 1.5

Resta $\sin (x)$ de $3 \sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.6

Expande $(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.2

Multiplica $\sin^{3} (x)$ por $\sin^{3} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.1.2.1

Mueve $\sin^{3} (x)$ .

$- 4 \cdot (- 4 (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x))) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 \cdot (- 4 {\sin (x)}^{3 + 3}) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{6} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.4

Multiplica $\sin^{3} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.1.4.1

Mueve $\sin (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{3} (x)$ .

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Paso 1.7.1.4.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 \sin^{6} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 3} \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.4.3

Suma $1$ y $3$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{4} (x) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.6

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{3} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.1.6.1

Mueve $\sin^{3} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.6.2

Multiplica $\sin^{3} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 1.7.1.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 {\sin (x)}^{3 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.6.3

Suma $3$ y $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.7

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.8

Multiplica $4 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

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Paso 1.7.1.8.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin (x) \sin (x) = 0$

Paso 1.7.1.8.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.8.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Paso 1.7.1.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Paso 1.7.1.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 1.7.2

Resta $16 \sin^{4} (x)$ de $- 8 \sin^{4} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $8 \sin^{2} (x)$ de $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $8 \sin^{2} (x)$ de $16 \sin^{6} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $8 \sin^{2} (x)$ de $- 24 \sin^{4} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $8 \sin^{2} (x)$ de $8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $8 \sin^{2} (x)$ de $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x))$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $8 \sin^{2} (x)$ de $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 2.2

Reescribe $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 {(\sin^{2} (x))}^{2} - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 2.3

Sea $u = \sin^{2} (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Paso 2.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 u$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Paso 2.4.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1$ más $- 2$

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Paso 2.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Paso 2.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$8 \sin^{2} (x) ((2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1) = 0$

Paso 2.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$8 \sin^{2} (x) (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Paso 2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1)) = 0$

Paso 2.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Paso 2.7

Factoriza.

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Paso 2.7.1

Factoriza.

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Paso 2.7.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1))) = 0$

Paso 2.7.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Paso 2.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 4

Establece $\sin^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin^{2} (x)$ igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 4.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 4.2.6

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 4.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $2 \sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 \sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 \sin^{2} (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin^{2} (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 5.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 5.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.7

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 5.2.7.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.7.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 5.2.7.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.7.4

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.2.7.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.7.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.2.7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.7.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 5.2.7.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5.2.7.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.7.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.8.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 5.2.8.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 5.2.8.4.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 5.2.8.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 5.2.8.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.8.6.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.8.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.2.8.6.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.6.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 5.2.8.6.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 5.2.8.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 5.2.8.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 6.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 6.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 6.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.7.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.7.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 1$

Paso 7.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 7.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 7.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 7.2.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 7.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 7.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.2

Consolida $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ y $\frac{π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.3

Consolida $π n$ y $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.4

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{4}$ , para cualquier número entero $n$