Precálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Paso 2

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Paso 3

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 10

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 10.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Paso 10.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Paso 10.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 10.4.1

Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Paso 10.4.2

El ángulo resultante de $2.76685822$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2.76685822$

Paso 10.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 11.1

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 12

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$