Precálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Suma $64$ y $16$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $16$ de $80$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Paso 6

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Paso 7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

Paso 8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ .

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Paso 8.1

Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\sin (x) = 8.47213595$

Paso 8.2

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $8.47213595$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 9

Resuelve $x$ en $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ .

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Paso 9.1

Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\sin (x) = - 0.47213595$

Paso 9.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Evalúa $\arcsin (- 0.47213595)$ .

$x = - 0.49171223$

Paso 9.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

Paso 9.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 9.5.1

Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

Paso 9.5.2

El ángulo resultante de $3.63330488$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 3.63330488$

Paso 9.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 9.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 9.7.1

Suma $2 π$ y $- 0.49171223$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.49171223 + 2 π$

Paso 9.7.2

Resta $0.49171223$ de $2 π$ .

$5.79147307$

Paso 9.7.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 5.79147307$

Paso 9.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Enumera todas las soluciones.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$