Precálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x) - 5 \cos (x) + 5 = 0$

Paso 1

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 5 \cos (x) + 5 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Suma $1$ y $5$ .

$6 - \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Reordena los términos.

$- \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 6) \cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 6 (- \cos (x) + 1) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 6) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.4

Establece $- \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Paso 2.4.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 2.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 2.4.2.6

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 2.4.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.4.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Establece $\cos (x) + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $\cos (x) + 6$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 6 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $\cos (x) + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 6$

Paso 2.5.2.2

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 6$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 6) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$