Precálculo Ejemplos

$\tan^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Paso 1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Paso 1.1.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Paso 1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) = 0$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 4

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 6

Multiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 6.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 6.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \cdot 0$

Paso 6.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 7

Multiplica $\cos (x)$ por $0$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Paso 8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Paso 10

Establece $\sin (x) + \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $\sin (x) + \cos (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $\sin (x) + \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.2.2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.2.4

Separa las fracciones.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 10.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 10.2.6

Divide $0$ por $1$ .

$\tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Paso 10.2.7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Paso 10.2.8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 10.2.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 10.2.10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.10.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 10.2.11

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 10.2.12

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 10.2.12.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 10.2.12.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.2.13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 10.2.13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 10.2.13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 10.2.13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 10.2.13.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 10.2.14

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.2.14.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 10.2.14.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 10.2.14.3

Combina fracciones.

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Paso 10.2.14.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 10.2.14.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 10.2.14.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.14.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 10.2.14.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 10.2.14.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.2.15

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Establece $\sin (x) - \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $\sin (x) - \cos (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Paso 11.2

Resuelve $\sin (x) - \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.2.2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 11.2.3.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.2.3.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.2.4

Separa las fracciones.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 11.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 11.2.6

Divide $0$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Paso 11.2.7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Paso 11.2.8

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = 1$

Paso 11.2.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 11.2.10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.10.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 11.2.11

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.12

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 11.2.12.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.12.2

Combina fracciones.

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Paso 11.2.12.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.12.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 11.2.12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.12.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 11.2.12.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 11.2.13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 11.2.13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 11.2.13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 11.2.13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 11.2.13.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11.2.14

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$