Precálculo Ejemplos

$\sqrt{3 x} + \sqrt{12} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\sqrt{3}$ .

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{12}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(\sqrt{3 x} + \sqrt{12}) \sqrt{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.1.1.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{4 (3)}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{2^{2} \cdot 3}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$(\sqrt{3 x} + 2 \sqrt{3}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3 x} \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $\sqrt{3 x} \sqrt{3}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{3 x \cdot 3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{9 x} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.4

Multiplica $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{9 x} + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \sqrt{x} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.5.3.4.1

Cancela el factor común.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{1} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.3.5

Evalúa el exponente.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.1.1.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 \sqrt{x} + 6 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$3 \sqrt{x} + 6 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 \sqrt{x} + 6 = x + 7$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $3 \sqrt{x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sqrt{x} = x + 7 - 6$

Paso 3.1.2

Resta $6$ de $7$ .

$3 \sqrt{x} = x + 1$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Simplifica.

$9 x = {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$9 x = (x + 1) (x + 1)$

Paso 3.3.3.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Paso 3.3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Paso 3.3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$9 x = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$9 x = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.3.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$9 x = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.3.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$9 x = x^{2} + x + x + 1$

Paso 3.3.3.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$9 x = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 2 x + 1 = 9 x$

Paso 3.4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x + 1 - 9 x = 0$

Paso 3.4.2.2

Resta $9 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - 7 x + 1 = 0$

Paso 3.4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 7$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5

Simplifica.

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Paso 3.4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.5.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5.1.3

Resta $4$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.4.5.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{7 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = 6.85410196 \dots, 0.14589803 \dots$