Precálculo Ejemplos

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) - 1 = 0$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$

Paso 2

Divide cada término en $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ por $\sqrt{3}$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\tan (x - \frac{π}{9})$ por $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x - \frac{π}{9} = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{π}{6}$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $\frac{π}{9}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π}{9}$

Paso 5.2

Para escribir $\frac{π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

Paso 5.3

Para escribir $\frac{π}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.4.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.4.3

Multiplica $\frac{π}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

Paso 5.4.4

Multiplica $9$ por $2$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 2}{18}$

Paso 5.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{18}$

Paso 5.6.3

Suma $3 π$ y $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Paso 6

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x - \frac{π}{9} = π + \frac{π}{6}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Simplifica $π + \frac{π}{6}$ .

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Paso 7.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 7.1.2

Combina fracciones.

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Paso 7.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 7.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Paso 7.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Paso 7.1.3.2

Suma $6 π$ y $π$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{7 π}{6}$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Suma $\frac{π}{9}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{7 π}{6} + \frac{π}{9}$

Paso 7.2.2

Para escribir $\frac{7 π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

Paso 7.2.3

Para escribir $\frac{π}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

Paso 7.2.4.4

Multiplica $9$ por $2$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

Paso 7.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

Paso 7.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.6.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 2}{18}$

Paso 7.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{21 π + 2 \cdot π}{18}$

Paso 7.2.6.3

Suma $21 π$ y $2 π$ .

$x = \frac{23 π}{18}$

Paso 8

Obtén el período de $\tan (x - \frac{π}{9})$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 8.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 9

El período de la función $\tan (x - \frac{π}{9})$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{18} + π n, \frac{23 π}{18} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{5 π}{18} + π n$ , para cualquier número entero $n$