Precálculo Ejemplos

$\sec^{2} (x) - 8 \sec (x) = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \sec (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sec (x)$ .

$u^{2} - 8 u = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u$ de $u^{2} - 8 u$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 8 u = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $u$ de $- 8 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot - 8$ .

$u (u - 8) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\sec (x) - 8 = 0$

Paso 3

Establece $\sec (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\sec (x)$ igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Paso 3.2

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 4

Establece $\sec (x) - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sec (x) - 8$ igual a $0$ .

$\sec (x) - 8 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sec (x) - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = 8$

Paso 4.2.2

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (8)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Evalúa $arcsec (8)$ .

$x = 1.44546849$

Paso 4.2.4

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Paso 4.2.5

Resuelve $x$

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Paso 4.2.5.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Paso 4.2.5.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.44546849$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.44546849$

Paso 4.2.5.2.2

Resta $1.44546849$ de $6.2831853$ .

$x = 4.83771681$

Paso 4.2.6

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 4.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.7

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$ verdadera.

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$