Precálculo Ejemplos

$\sec^{2} (x) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

Paso 1

Reemplaza $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

Paso 2

Suma $1$ y $4$ .

$\tan^{2} (x) + 6 \tan (x) + 5 = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) + 5 = 0$

Paso 4

Factoriza $u^{2} + 6 u + 5$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $6$ .

$1, 5$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 1) (u + 5) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 5 = 0$

Paso 6

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 7

Establece $u + 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 7.1

Establece $u + 5$ igual a $0$ .

$u + 5 = 0$

Paso 7.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 5$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u + 1) (u + 5) = 0$ verdadera.

$u = - 1, - 5$

Paso 9

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = - 1, - 5$

Paso 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = - 1$

$\tan (x) = - 5$

Paso 11

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - 1$ .

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Paso 11.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 11.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 11.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 11.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 11.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 11.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 11.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 11.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 11.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 11.6.3

Combina fracciones.

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Paso 11.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 11.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 11.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 11.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 11.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 11.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - 5$ .

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Paso 12.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 5)$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

Evalúa $\arctan (- 5)$ .

$x = - 1.37340076$

Paso 12.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 1.37340076 - (3.14159265)$

Paso 12.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 12.4.1

Suma $2 π$ a $- 1.37340076 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.37340076 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 12.4.2

El ángulo resultante de $1.76819188$ es positivo y coterminal con $- 1.37340076 - (3.14159265)$ .

$x = 1.76819188$

Paso 12.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 12.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 12.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 12.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 12.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 12.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 12.6.1

Suma $π$ y $- 1.37340076$ para obtener el ángulo positivo.

$- 1.37340076 + π$

Paso 12.6.2

Reemplaza con aproximación decimal.

$3.14159265 - 1.37340076$

Paso 12.6.3

Resta $1.37340076$ de $3.14159265$ .

$1.76819188$

Paso 12.6.4

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 1.76819188$

Paso 12.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Consolida las soluciones.

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Paso 14.1

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{3 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14.2

Consolida $1.76819188 + π n$ y $1.76819188 + π n$ en $1.76819188 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n$ , para cualquier número entero $n$