Precálculo Ejemplos

$\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{4}{5}} = 256$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- \frac{5}{4}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2

Simplifica el exponente.

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5}$ al numerador.

$x^{\frac{- 4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$x^{\frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$x^{\frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.4

Cancela el factor común.

$x^{\frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.5

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.1.1.3.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{- - 1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica $\pm 256^{- \frac{5}{4}}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \frac{1}{256^{\frac{5}{4}}}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Reescribe $256$ como $4^{4}$ .

$x = \pm \frac{1}{{(4^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 2.2.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Paso 2.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Paso 2.2.2.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{1}{4^{5}}$

Paso 2.2.2.1.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$x = \pm \frac{1}{1024}$

Paso 2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{1024}$

Paso 2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{1024}$

Paso 2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{1024}, - \frac{1}{1024}$

Paso 3

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{1024}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{1024}$

Forma decimal:

$x = 0.00097656 \dots$