Precálculo Ejemplos

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4}$

Paso 2.2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$1 \cdot 4 = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$

Paso 2.3.2

Mueve los términos que contengan $x$ al lado izquierdo y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1 \cdot 4$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Paso 2.3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.3.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.3.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.4.2.1

Simplifica $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.3.4.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.3.4.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 2.3.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 2.3.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm 2^{3}$

Paso 2.3.4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm 8$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 3

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ sea verdadera.

$x = 8$