Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x + 9) - \log_{5} (x - 1) = 2$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 9}{x - 1}) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (\frac{x + 9}{x - 1}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{2} = \frac{x + 9}{x - 1}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 9 = 5^{2} (x - 1)$

Paso 4

Simplifica $5^{2} (x - 1)$ .

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Paso 4.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x + 9 = 25 (x - 1)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 9 = 25 x + 25 \cdot - 1$

Paso 4.3

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$x + 9 = 25 x - 25$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $25 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 9 - 25 x = - 25$

Paso 5.2

Resta $25 x$ de $x$ .

$- 24 x + 9 = - 25$

Paso 6

Factoriza $3$ de $- 24 x + 9$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $- 24 x$ .

$3 (- 8 x) + 9 = - 25$

Paso 6.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 (- 8 x) + 3 (3) = - 25$

Paso 6.3

Factoriza $3$ de $3 (- 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (- 8 x + 3) = - 25$

Paso 7

Divide cada término en $3 (- 8 x + 3) = - 25$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 (- 8 x + 3) = - 25$ por $3$ .

$\frac{3 (- 8 x + 3)}{3} = \frac{- 25}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 8 x + 3)}{3} = \frac{- 25}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $- 8 x + 3$ por $1$ .

$- 8 x + 3 = \frac{- 25}{3}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 8 x + 3 = - \frac{25}{3}$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 x = - \frac{25}{3} - 3$

Paso 8.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 8 x = - \frac{25}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 8 x = - \frac{25}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 8 x = \frac{- 25 - 3 \cdot 3}{3}$

Paso 8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- 8 x = \frac{- 25 - 9}{3}$

Paso 8.5.2

Resta $9$ de $- 25$ .

$- 8 x = \frac{- 34}{3}$

Paso 8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 8 x = - \frac{34}{3}$

Paso 9

Divide cada término en $- 8 x = - \frac{34}{3}$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 8 x = - \frac{34}{3}$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{34}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{34}{3}$ al numerador.

$x = \frac{- 34}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Paso 9.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 34$ .

$x = \frac{2 (- 17)}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Paso 9.3.2.3

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$x = \frac{2 \cdot - 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Paso 9.3.2.4

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Paso 9.3.2.5

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 17}{3} \cdot \frac{1}{- 4}$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{- 17}{3}$ por $\frac{1}{- 4}$ .

$x = \frac{- 17}{3 \cdot - 4}$

Paso 9.3.4

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 17}{- 12}$

Paso 9.3.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{17}{12}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{17}{12}$

Forma decimal:

$x = 1.41\overline{6}$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{5}{12}$