Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x + 7) + \log_{5} (x - 7) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 7) (x - 7)) = 3$

Paso 1.2

Expande $(x + 7) (x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x (x - 7) + 7 (x - 7)) = 3$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7)) = 3$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7) = 3$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7$ .

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Paso 1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 7$ y $7 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7) = 3$

Paso 1.3.1.2

Suma $- 7 x$ y $7 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 7 \cdot - 7) = 3$

Paso 1.3.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 7 \cdot - 7) = 3$

Paso 1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 7 \cdot - 7) = 3$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $7$ por $- 7$ .

$\log_{5} (x^{2} - 49) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (x^{2} - 49) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} - 49$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 49 = 5^{3}$ .

$x^{2} - 49 = 5^{3}$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} - 49 = 125$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $49$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 125 + 49$

Paso 3.3.2

Suma $125$ y $49$ .

$x^{2} = 174$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{174}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{174}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{174}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{174}, - \sqrt{174}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (x + 7) + \log_{5} (x - 7) = 3$ sea verdadera.

$x = \sqrt{174}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{174}$

Forma decimal:

$x = 13.19090595 \dots$