Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (x^{3} + 19) = 3$

Paso 1

Reescribe $\log_{3} (x^{3} + 19) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{3} = x^{3} + 19$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $x^{3} + 19 = 3^{3}$ .

$x^{3} + 19 = 3^{3}$

Paso 2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x^{3} + 19 = 27$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Resta $19$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 27 - 19$

Paso 2.3.2

Resta $19$ de $27$ .

$x^{3} = 8$

Paso 2.4

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 8 = 0$

Paso 2.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Paso 2.5.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 2.7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.8

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.8.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 2.8.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.8.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.8.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3

Simplifica.

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Paso 2.8.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.8.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.8.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.8.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.8.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$