Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (x - 5) = 3 - \log_{2} (x - 7)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{2} (x - 5) + \log_{2} (x - 7) = 3$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 5) (x - 7)) = 3$

Paso 3

Expande $(x - 5) (x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x (x - 7) - 5 (x - 7)) = 3$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 7 - 5 (x - 7)) = 3$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) = 3$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) = 3$

Paso 4.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 7 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 7) = 3$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 7$ .

$\log_{2} (x^{2} - 7 x - 5 x + 35) = 3$

Paso 4.2

Resta $5 x$ de $- 7 x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 12 x + 35) = 3$

Paso 5

Reescribe $\log_{2} (x^{2} - 12 x + 35) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} - 12 x + 35$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 12 x + 35 = 2^{3}$ .

$x^{2} - 12 x + 35 = 2^{3}$

Paso 6.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} - 12 x + 35 = 8$

Paso 6.3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 x + 35 - 8 = 0$

Paso 6.4

Resta $8$ de $35$ .

$x^{2} - 12 x + 27 = 0$

Paso 6.5

Factoriza $x^{2} - 12 x + 27$ con el método AC.

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Paso 6.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $27$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 9, - 3$

Paso 6.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 9) (x - 3) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 6.7

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.7.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 6.7.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 6.8

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 9) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 9, 3$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (x - 5) = 3 - \log_{2} (x - 7)$ sea verdadera.

$x = 9$