Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{2} (x - 6) + \log_{2} (2 x) = 5$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 6) (2 x)) = 5$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x (2 x) - 6 (2 x)) = 5$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log_{2} (2 x \cdot x - 6 (2 x)) = 5$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\log_{2} (2 x \cdot x - 12 x) = 5$

Paso 5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x$ .

$\log_{2} (2 (x \cdot x) - 12 x) = 5$

Paso 5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$

Paso 6

Reescribe $\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 2 x^{2} - 12 x$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$ .

$2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$

Paso 7.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$2 x^{2} - 12 x = 32$

Paso 7.3

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 12 x - 32 = 0$

Paso 7.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 12 x - 32$ .

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Paso 7.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

Paso 7.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 32 = 0$

Paso 7.4.1.3

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Paso 7.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Paso 7.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

Paso 7.4.2

Factoriza.

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Paso 7.4.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x - 16$ con el método AC.

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Paso 7.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 8, 2$

Paso 7.4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

Paso 7.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 8) (x + 2) = 0$

Paso 7.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 7.6

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.6.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 7.6.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 7.7

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.7.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 8) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 8, - 2$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$ sea verdadera.

$x = 8$