Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ .

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Paso 1.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x + 1))$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1)$

Paso 1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x)$

Paso 1.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.1

Mueve $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 (x \cdot x) + x)$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x^{2} + x)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$5 x = 2 x^{2} + x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 x^{2} + x = 5 x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + x - 5 x = 0$

Paso 3.2.2

Resta $5 x$ de $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} - 4 x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 4 x = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $2 x$ de $- 4 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 2) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (- 2)$ .

$2 x (x - 2) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ sea verdadera.

$x = 2$