Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3}) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Paso 1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x - 3)) = 0$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{x}{2 x + 3}$ por $2 x - 3$ .

$\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x (2 x - 3) = 5^{0} (2 x + 3)$

Paso 4

Simplifica $5^{0} (2 x + 3)$ .

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Paso 4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x (2 x - 3) = 1 (2 x + 3)$

Paso 4.2

Multiplica $2 x + 3$ por $1$ .

$x (2 x - 3) = 2 x + 3$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x (2 x - 3) - 2 x = 3$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Paso 5.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Paso 5.2.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Paso 5.2.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.4.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x = 3$

$2 x^{2} - 3 x - 2 x = 3$

Paso 5.3

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Paso 6

Factoriza $x$ de $2 x^{2} - 5 x$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$x (2 x) - 5 x = 3$

Paso 6.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Paso 6.3

Factoriza $x$ de $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$x (2 x - 5) = 3$

Paso 7

Simplifica $x (2 x - 5)$ .

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Paso 7.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Paso 7.1.2

Reordena.

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Paso 7.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 = 3$

Paso 7.1.2.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$2 x \cdot x - 5 \cdot x = 3$

Paso 7.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - 5 \cdot x = 3$

Paso 7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x = 3$

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Paso 8

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Paso 9

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Paso 9.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

Paso 9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

Paso 9.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

Paso 9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

Paso 9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 11

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 11.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 12

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 12.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Paso 14

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$ sea verdadera.

$x = 3$