Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$

Paso 1

Reescribe $\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} + 3 x + 4$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$

Paso 2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 25$

Paso 2.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 3 x + 4 - 25 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $25$ de $4$ .

$x^{2} + 3 x - 21 = 0$

Paso 2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = - 21$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 21$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.3

Suma $9$ y $84$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2}$

Paso 2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Forma decimal:

$x = 3.32182538 \dots, - 6.32182538 \dots$