Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x - 5) (x + 5)) = 2$

Paso 1.2

Expande $(x - 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x (x + 5) - 5 (x + 5)) = 2$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 (x + 5)) = 2$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5$ .

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Paso 1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 5$ y $- 5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 5 x - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Paso 1.3.1.2

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 0 - 5 \cdot 5) = 2$

Paso 1.3.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log_{4} (x \cdot x - 5 \cdot 5) = 2$

Paso 1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 5 \cdot 5) = 2$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x^{2} - 25$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 25 = 4^{2}$ .

$x^{2} - 25 = 4^{2}$

Paso 3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 25 = 16$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 16 + 25$

Paso 3.3.2

Suma $16$ y $25$ .

$x^{2} = 41$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{41}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{41}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$ sea verdadera.

$x = \sqrt{41}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{41}$

Forma decimal:

$x = 6.40312423 \dots$