Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 1)) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{1}{2}$

Paso 1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$

Paso 2

Reescribe $\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{1}{2}} = x^{2} - x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2

Simplifica $4^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - x = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - x = 2^{1}$

Paso 3.2.3

Evalúa el exponente.

$x^{2} - x = 2$

Paso 3.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$ sea verdadera.

$x = 2$