Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x + 61) + \log_{4} (x + 1) = 4$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x + 61) (x + 1)) = 4$

Paso 1.2

Expande $(x + 61) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x (x + 1) + 61 (x + 1)) = 4$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 1 + 61 (x + 1)) = 4$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 1 + 61 x + 61 \cdot 1) = 4$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot 1 + 61 x + 61 \cdot 1) = 4$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\log_{4} (x^{2} + x + 61 x + 61 \cdot 1) = 4$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $61$ por $1$ .

$\log_{4} (x^{2} + x + 61 x + 61) = 4$

Paso 1.3.2

Suma $x$ y $61 x$ .

$\log_{4} (x^{2} + 62 x + 61) = 4$

Paso 2

Reescribe $\log_{4} (x^{2} + 62 x + 61) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{4} = x^{2} + 62 x + 61$

Paso 3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 62 x + 61 = 4^{4}$ .

$x^{2} + 62 x + 61 = 4^{4}$

Paso 3.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$x^{2} + 62 x + 61 = 256$

Paso 3.3

Resta $256$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 62 x + 61 - 256 = 0$

Paso 3.4

Resta $256$ de $61$ .

$x^{2} + 62 x - 195 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $x^{2} + 62 x - 195$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 195$ y cuya suma es $62$ .

$- 3, 65$

Paso 3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 65) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 65 = 0$

Paso 3.7

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.8

Establece $x + 65$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Establece $x + 65$ igual a $0$ .

$x + 65 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $65$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 65$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 65) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 65$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{4} (x + 61) + \log_{4} (x + 1) = 4$ sea verdadera.

$x = 3$