Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 5)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x + 5) = 2$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 2) (x + 5)) = 2$

Paso 3

Expande $(x + 2) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x (x + 5) + 2 (x + 5)) = 2$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 (x + 5)) = 2$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Paso 4.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Paso 4.1.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 x + 2 x + 10) = 2$

Paso 4.2

Suma $5 x$ y $2 x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 7 x + 10) = 2$

Paso 5

Reescribe $\log_{2} (x^{2} + 7 x + 10) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{2} = x^{2} + 7 x + 10$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 7 x + 10 = 2^{2}$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = 2^{2}$

Paso 6.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = 4$

Paso 6.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 7 x + 10 - 4 = 0$

Paso 6.4

Resta $4$ de $10$ .

$x^{2} + 7 x + 6 = 0$

Paso 6.5

Factoriza $x^{2} + 7 x + 6$ con el método AC.

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Paso 6.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $7$ .

$1, 6$

Paso 6.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x + 6) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 6.7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 6.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6.8

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 6.8.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 6$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 5)$ sea verdadera.

$x = - 1$