Precálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$\ln (x - 1), 1$

Paso 1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$\ln (x - 1)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ por $\ln (x - 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ por $\ln (x - 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x - 1)$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica $2 \ln (x - 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe.

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Paso 3.2.1.3

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Paso 3.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Paso 3.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.2.1.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.2.1.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.2.1.4.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.2.1.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Paso 3.2.1.4.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 3.2.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

Paso 3.2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Paso 3.2.3.2

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Paso 3.2.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Paso 3.2.5

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

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Paso 3.2.5.1

Resta $1$ de $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Paso 3.2.5.2

Suma $x^{2} - 3 x$ y $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Paso 3.2.6

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Paso 3.2.6.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Paso 3.2.6.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Paso 3.2.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.8

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.2.9

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.9.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.9.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.2.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ sea verdadera.

$x = 3$