Precálculo Ejemplos

$\ln ({(x)}^{\ln (x)}) = 4$

Paso 1

Expande $\ln (x^{\ln (x)})$ .

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Paso 1.1

Expande $\ln (x^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\ln (x) \ln (x)$

Paso 1.2

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln (x)$

Paso 1.3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\ln (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln^{2} (x)$

Paso 2

La ecuación expandida es $\ln^{2} (x) = 4$ .

$\ln^{2} (x) = 4$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (x) = \pm \sqrt{4}$

Paso 3.2

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\ln (x) = \pm 2$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\ln (x) = 2$

Paso 3.3.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Paso 3.3.3

Reescribe $\ln (x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Paso 3.3.4

Reescribe la ecuación como $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Paso 3.3.5

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\ln (x) = - 2$

Paso 3.3.6

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Paso 3.3.7

Reescribe $\ln (x) = - 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Paso 3.3.8

Resuelve $x$

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Paso 3.3.8.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Paso 3.3.8.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Paso 3.3.9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Forma decimal:

$x = 7.38905609 \dots, 0.13533528 \dots$