Precálculo Ejemplos

$16^{x} - 8 \cdot 4^{x} + 7 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $16^{x}$ como ${(4^{2})}^{x}$ .

${(4^{2})}^{x} - 8 \cdot 4^{x} + 7 = 0$

Paso 1.2

Reescribe ${(4^{2})}^{x}$ como ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 8 \cdot 4^{x} + 7 = 0$

Paso 1.3

Sea $u = 4^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $4^{x}$ .

$u^{2} - 8 u + 7 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $u^{2} - 8 u + 7$ con el método AC.

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Paso 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $7$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 7, - 1$

Paso 1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 7) (u - 1) = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4^{x}$ .

$(4^{x} - 7) (4^{x} - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4^{x} - 7 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Paso 3

Establece $4^{x} - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $4^{x} - 7$ igual a $0$ .

$4^{x} - 7 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $4^{x} - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{x} = 7$

Paso 3.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{x}) = \ln (7)$

Paso 3.2.3

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (4) = \ln (7)$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $x \ln (4) = \ln (7)$ por $\ln (4)$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $x \ln (4) = \ln (7)$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (7)}{\ln (4)}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (7)}{\ln (4)}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (4)}$

Paso 4

Establece $4^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4^{x} - 1$ igual a $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{x} = 1$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Paso 4.2.5

Divide cada término en $x \ln (4) = 0$ por $\ln (4)$ y simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Divide cada término en $x \ln (4) = 0$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Paso 4.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 4.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Paso 4.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.5.3.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Paso 4.2.5.3.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.5.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 4.2.5.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Paso 4.2.5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 4.2.5.3.4

Divide $0$ por $\ln (2)$ .

$x = 0$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4^{x} - 7) (4^{x} - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (4)}, 0$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (4)}, 0$

Forma decimal:

$x = 1.40367746 \dots, 0$