Precálculo Ejemplos

$\log (4 x + 7) + \log (x + 1) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((4 x + 7) (x + 1)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(4 x + 7) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (4 x (x + 1) + 7 (x + 1)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 7 (x + 1)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\log (4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Paso 1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\log (4 x^{2} + 4 x + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$\log (4 x^{2} + 4 x + 7 x + 7) = 1$

Paso 1.3.2

Suma $4 x$ y $7 x$ .

$\log (4 x^{2} + 11 x + 7) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (4 x^{2} + 11 x + 7) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 4 x^{2} + 11 x + 7$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 x^{2} + 11 x + 7 = 10^{1}$ .

$4 x^{2} + 11 x + 7 = 10$

Paso 3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 11 x + 7 - 10 = 0$

Paso 3.3

Resta $10$ de $7$ .

$4 x^{2} + 11 x - 3 = 0$

Paso 3.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $11$ de $11 x$ .

$4 x^{2} + 11 (x) - 3 = 0$

Paso 3.4.1.2

Reescribe $11$ como $- 1$ más $12$

$4 x^{2} + (- 1 + 12) x - 3 = 0$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 1 x + 12 x - 3 = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} - 1 x) + 12 x - 3 = 0$

Paso 3.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (4 x - 1) + 3 (4 x - 1) = 0$

Paso 3.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.6

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 3.7

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, - 3$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (4 x + 7) + \log (x + 1) = 1$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$x = 0.25$