Precálculo Ejemplos

$5 e^{0.5 x - 2} = {1.9}^{x}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5 e^{0.5 x - 2}) = \ln ({1.9}^{x})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (5 e^{0.5 x - 2})$ como $\ln (5) + \ln (e^{0.5 x - 2})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{0.5 x - 2}) = \ln ({1.9}^{x})$

Paso 2.2

Expande $\ln (e^{0.5 x - 2})$ ; para ello, mueve $0.5 x - 2$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + (0.5 x - 2) \ln (e) = \ln ({1.9}^{x})$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (5) + (0.5 x - 2) \cdot 1 = \ln ({1.9}^{x})$

Paso 2.4

Multiplica $0.5 x - 2$ por $1$ .

$\ln (5) + 0.5 x - 2 = \ln ({1.9}^{x})$

Paso 3

Expande $\ln ({1.9}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + 0.5 x - 2 = x \ln (1.9)$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (5) - x \ln (1.9) = - 0.5 x + 2$

Paso 5

Suma $0.5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (5) - x \ln (1.9) + 0.5 x = 2$

Paso 6

Resta $\ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (1.9) + 0.5 x = 2 - \ln (5)$

Paso 7

Factoriza $0.5 x$ de $- x \ln (1.9) + 0.5 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $0.5 x$ de $- x \ln (1.9)$ .

$0.5 x (- 2 \ln (1.9)) + 0.5 x = 2 - \ln (5)$

Paso 7.2

Factoriza $0.5 x$ de $0.5 x$ .

$0.5 x (- 2 \ln (1.9)) + 0.5 x (1) = 2 - \ln (5)$

Paso 7.3

Factoriza $0.5 x$ de $0.5 x (- 2 \ln (1.9)) + 0.5 x (1)$ .

$0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1) = 2 - \ln (5)$

Paso 8

Divide cada término en $0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1) = 2 - \ln (5)$ por $0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1) = 2 - \ln (5)$ por $0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)$ .

$\frac{0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $0.5$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.5 x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{- 2 \ln (1.9) + 1} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $- 2 \ln (1.9) + 1$ .

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 2 \ln (1.9) + 1)}{- 2 \ln (1.9) + 1} = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.3.1.2

Separa las fracciones.

$x = \frac{2}{0.5} \cdot \frac{1}{- 2 \ln (1.9) + 1} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.3.1.3

Divide $2$ por $0.5$ .

$x = 4 \frac{1}{- 2 \ln (1.9) + 1} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.3.1.4

Combina $4$ y $\frac{1}{- 2 \ln (1.9) + 1}$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} + \frac{- \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - \frac{\ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.3.1.6

Multiplica por $1$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - \frac{1 \ln (5)}{0.5 (- 2 \ln (1.9) + 1)}$

Paso 8.3.1.7

Separa las fracciones.

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - (\frac{1}{0.5} \cdot \frac{\ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1})$

Paso 8.3.1.8

Divide $1$ por $0.5$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - (2 \frac{\ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1})$

Paso 8.3.1.9

Combina $2$ y $\frac{\ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$ .

$x = \frac{4}{- 2 \ln (1.9) + 1} - \frac{2 \ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Paso 8.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{4 - 2 \ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Paso 8.3.2.2

Factoriza $2$ de $4 - 2 \ln (5)$ .

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2) - 2 \ln (5)}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Paso 8.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (2) + 2 (- \ln (5))}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Paso 8.3.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (- \ln (5))$ .

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- 2 \ln (1.9) + 1}$

Paso 8.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 \ln (1.9)$ .

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- (2 \ln (1.9)) + 1}$

Paso 8.3.2.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- (2 \ln (1.9)) - 1 (- 1)}$

Paso 8.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 \ln (1.9)) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- (2 \ln (1.9) - 1)}$

Paso 8.3.2.6

Reescribe los negativos.

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Paso 8.3.2.6.1

Reescribe $- (2 \ln (1.9) - 1)$ como $- 1 (2 \ln (1.9) - 1)$ .

$x = \frac{2 (2 - \ln (5))}{- 1 (2 \ln (1.9) - 1)}$

Paso 8.3.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 (2 - \ln (5))}{2 \ln (1.9) - 1}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{2 (2 - \ln (5))}{2 \ln (1.9) - 1}$

Forma decimal:

$x = - 2.75327027 \dots$