Precálculo Ejemplos

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 31$ , $b = 10 \sqrt{3} y$ y $c = 21 y^{2} - 144$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2

Sea $u = 31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $10 \sqrt{3} y$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $10 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.3.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $100$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{300 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.3

Factoriza $4$ de $300 y^{2} - 4 u$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $4$ de $300 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (75 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - u)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 \cdot (21 y^{2} - 144)))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 (21 y^{2}) + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.5.1.2

Multiplica $21$ por $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.5.1.3

Multiplica $31$ por $- 144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} - 4464))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.5.1.5

Multiplica $651$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 4464$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.5.2

Resta $651 y^{2}$ de $75 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 576 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.6

Factoriza $144$ de $- 576 y^{2} + 4464$ .

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $144$ de $- 576 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza $144$ de $4464$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 144 (31))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.6.3

Factoriza $144$ de $144 (- 4 y^{2}) + 144 (31)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.7

Multiplica $4$ por $144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{576 (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.8

Reescribe $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{24^{2} (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{2 \cdot 31}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$ .

$x = \frac{- 5 \sqrt{3} y \pm 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

Paso 4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y - 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y + 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$