Precálculo Ejemplos

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$

Paso 1

Divide cada término en $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ por $45$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ por $45$ .

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $45$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Paso 1.2.1.2

Divide ${(\frac{2}{5})}^{x}$ por $1$ .

${(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{10}{45}$

Paso 1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{10}{45}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $45$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 (2)}{45}$

Paso 1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $45$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Paso 1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Paso 1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{2}{9}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $5^{x}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $5^{x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{2}{9}$ y $5^{x}$ .

$2^{x} = \frac{2 \cdot 5^{x}}{9}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Paso 4.2

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Paso 4.3

Reescribe $\ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$ como $\ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$

Paso 4.4

Reescribe $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (3^{2})$

Paso 4.5

Expande $\ln (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - (2 \ln (3))$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - 2 \ln (3)$

Paso 4.7

Reescribe $\ln (2 \cdot 5^{x})$ como $\ln (2) + \ln (5^{x})$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + \ln (5^{x}) - 2 \ln (3)$

Paso 4.8

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$

Paso 4.9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.9.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.9.1.1

Simplifica $\ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Paso 4.9.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.9.1.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (3^{2})$

Paso 4.9.1.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (9)$

Paso 4.9.1.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) = x \ln (5) + \ln (\frac{2}{9})$

Paso 4.9.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (2) - x \ln (5) - \ln (\frac{2}{9}) = 0$

Paso 4.9.3

Suma $\ln (\frac{2}{9})$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Paso 4.9.4

Factoriza $x$ de $x \ln (2) - x \ln (5)$ .

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Paso 4.9.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Paso 4.9.4.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Paso 4.9.4.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Paso 4.9.5

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Paso 4.9.6

Divide cada término en $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ por $\ln (2) - \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 4.9.6.1

Divide cada término en $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ por $\ln (2) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Paso 4.9.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.9.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) - \ln (5)$ .

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Paso 4.9.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Paso 4.9.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 1.64148489 \dots$