Precálculo Ejemplos

$2 \cos (5 x) - 1 = 0$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (5 x) = 1$

Paso 2

Divide cada término en $2 \cos (5 x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \cos (5 x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\cos (5 x)$ por $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

Paso 3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Paso 5

Divide cada término en $5 x = \frac{π}{3}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $5 x = \frac{π}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Paso 6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 7.1.5

Resta $π$ de $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Paso 7.2

Divide cada término en $5 x = \frac{5 π}{3}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $5 x = \frac{5 π}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{3}$

Paso 8

Obtén el período de $\cos (5 x)$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $5$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Paso 8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Paso 9

El período de la función $\cos (5 x)$ es $\frac{2 π}{5}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{5}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , para cualquier número entero $n$