Precálculo Ejemplos

$2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$

Paso 1

Divide cada término en $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.1.2

Divide $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ por $1$ .

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$5 x - \frac{1}{12} \cdot π = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Combina $π$ y $\frac{1}{12}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = - \frac{π}{4}$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $\frac{π}{12}$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = - \frac{π}{4} + \frac{π}{12}$

Paso 5.2

Para escribir $- \frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Paso 5.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x = \frac{- π \cdot 3 + π}{12}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 x = \frac{- 3 π + π}{12}$

Paso 5.5.2

Suma $- 3 π$ y $π$ .

$5 x = \frac{- 2 π}{12}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $12$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 π$ .

$5 x = \frac{2 (- π)}{12}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 (6)}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común.

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}$

Paso 5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$5 x = \frac{- π}{6}$

Paso 5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 x = - \frac{π}{6}$

Paso 6

Divide cada término en $5 x = - \frac{π}{6}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $5 x = - \frac{π}{6}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 6.3.2

Multiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 6}$

Paso 6.3.2.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{30}$

Paso 7

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 8.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 8.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x - \frac{π}{12} = \frac{5 π}{4}$

Paso 8.3

Resuelve $x$

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Paso 8.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.3.1.1

Suma $\frac{π}{12}$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{12}$

Paso 8.3.1.2

Para escribir $\frac{5 π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Paso 8.3.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Paso 8.3.1.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Paso 8.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{12}$

Paso 8.3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.5.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$5 x = \frac{15 π + π}{12}$

Paso 8.3.1.5.2

Suma $15 π$ y $π$ .

$5 x = \frac{16 π}{12}$

Paso 8.3.1.6

Cancela el factor común de $16$ y $12$ .

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Paso 8.3.1.6.1

Factoriza $4$ de $16 π$ .

$5 x = \frac{4 (4 π)}{12}$

Paso 8.3.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.6.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 (3)}$

Paso 8.3.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 3}$

Paso 8.3.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$5 x = \frac{4 π}{3}$

Paso 8.3.2

Divide cada término en $5 x = \frac{4 π}{3}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Divide cada término en $5 x = \frac{4 π}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Paso 8.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Paso 8.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Paso 8.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 8.3.2.3.2

Multiplica $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 8.3.2.3.2.1

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 5}$

Paso 8.3.2.3.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$x = \frac{4 π}{15}$

Paso 9

Obtén el período de $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $5$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Paso 9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Paso 10

Suma $\frac{2 π}{5}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.1

Suma $\frac{2 π}{5}$ y $- \frac{π}{30}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{30} + \frac{2 π}{5}$

Paso 10.2

Para escribir $\frac{2 π}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{30}$

Paso 10.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $30$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{5}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{π}{30}$

Paso 10.3.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{30} - \frac{π}{30}$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{30}$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{30}$

Paso 10.5.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{30}$

Paso 10.6

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{30}$

Paso 11

El período de la función $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ es $\frac{2 π}{5}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{5}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{11 π}{30} + \frac{2 π n}{5}$ , para cualquier número entero $n$