Precálculo Ejemplos

$2 \sin (5 x) + \sqrt{3} = 0$

Paso 1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (5 x) = - \sqrt{3}$

Paso 2

Divide cada término en $2 \sin (5 x) = - \sqrt{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \sin (5 x) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (5 x)$ por $1$ .

$\sin (5 x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (5 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$5 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$5 x = - \frac{π}{3}$

Paso 5

Divide cada término en $5 x = - \frac{π}{3}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $5 x = - \frac{π}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5.3.2

Multiplica $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 3}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$x = - \frac{π}{15}$

Paso 6

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$5 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$5 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 7.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$5 x = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3

Divide cada término en $5 x = \frac{4 π}{3}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 7.3.1

Divide cada término en $5 x = \frac{4 π}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Paso 7.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Paso 7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 7.3.3.2

Multiplica $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 7.3.3.2.1

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 5}$

Paso 7.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$x = \frac{4 π}{15}$

Paso 8

Obtén el período de $\sin (5 x)$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $5$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Paso 8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Paso 9

Suma $\frac{2 π}{5}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 9.1

Suma $\frac{2 π}{5}$ y $- \frac{π}{15}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{15} + \frac{2 π}{5}$

Paso 9.2

Para escribir $\frac{2 π}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{15}$

Paso 9.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{π}{15}$

Paso 9.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{15} - \frac{π}{15}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{15}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{15}$

Paso 9.5.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{15}$

Paso 9.6

Cancela el factor común de $5$ y $15$ .

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Paso 9.6.1

Factoriza $5$ de $5 π$ .

$\frac{5 (π)}{15}$

Paso 9.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.6.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$\frac{5 π}{5 \cdot 3}$

Paso 9.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 π}{5 \cdot 3}$

Paso 9.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{3}$

Paso 9.7

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{π}{3}$

Paso 10

El período de la función $\sin (5 x)$ es $\frac{2 π}{5}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{5}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , para cualquier número entero $n$