Precálculo Ejemplos

$2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$

Paso 1

Divide cada término en $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.1.2

Divide $\sin (\frac{π}{4} x)$ por $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} x) = \frac{1}{2}$

Paso 2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{π}{4} x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Combina $\frac{π}{4}$ y $x$ .

$\frac{π x}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{6}$

Paso 5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Paso 6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Paso 6.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Paso 6.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 6.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Paso 6.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Paso 6.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Paso 6.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Paso 6.2.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Paso 6.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (\frac{1}{3})$

Paso 6.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 7

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{π x}{4} = π - \frac{π}{6}$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Paso 8.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Paso 8.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Paso 8.2.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 8.2.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Paso 8.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Paso 8.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Paso 8.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.2.2.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Paso 8.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 8.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 8.2.2.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Paso 8.2.2.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Paso 8.2.2.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Paso 8.2.2.1.2.4

Multiplica $\frac{2}{π}$ por $\frac{π \cdot 6 - π}{3}$ .

$x = \frac{2 (π \cdot 6 - π)}{π \cdot 3}$

Paso 8.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 (6 \cdot π - π)}{π \cdot 3}$

Paso 8.2.2.1.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{2 \cdot 5 π}{π \cdot 3}$

Paso 8.2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Paso 8.2.2.1.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 8.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Paso 8.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{3}$

Paso 9

Obtén el período de $\sin (\frac{π}{4} x)$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Paso 9.3

$\frac{π}{4}$ es aproximadamente $0.78539816$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{4}{π}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Paso 9.5.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Paso 9.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 4$

Paso 9.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$8$

Paso 10

El período de la función $\sin (\frac{π}{4} x)$ es $8$ , por lo que los valores se repetirán cada $8$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2}{3} + 8 n, \frac{10}{3} + 8 n$ , para cualquier número entero $n$