Precálculo Ejemplos

$2 \sin (x) - 1 = \frac{3}{\sin (x)}$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, \sin (x), 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$\sin (x)$

Paso 3

Multiplica cada término en $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ por $\sin (x)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $\sin (x)$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 \sin^{2} (x) = 3 + 1 \sin (x)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 3 + \sin (x)$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 3$

Paso 4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.3.1.2

Reescribe $- 1$ como $2$ más $- 3$

$2 \sin^{2} (x) + (2 - 3) \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 \sin (x) (\sin (x) + 1) - 3 (\sin (x) + 1) = 0$

Paso 4.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.5

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $\sin (x)$ .

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Paso 4.5.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 4.6

Establece $2 \sin (x) - 3$ igual a $0$ y resuelve $\sin (x)$ .

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Paso 4.6.1

Establece $2 \sin (x) - 3$ igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $2 \sin (x) - 3 = 0$ en $\sin (x)$ .

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Paso 4.6.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = 3$

Paso 4.6.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = 3$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 4.6.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$ verdadera.

$\sin (x) = - 1, \frac{3}{2}$

Paso 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

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Paso 6.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 6.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 6.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 6.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 6.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.6.3

Combina fracciones.

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Paso 6.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 6.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{3}{2}$ .

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Paso 7.1

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{3}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$