Precálculo Ejemplos

$2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $2 \log (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{2}) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5}) - \log (x + 10) = 0$

Paso 2.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{5}}{x + 10}) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{1}{x + 10}) = 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{x^{2}}{5}$ por $\frac{1}{x + 10}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{x^{2}}{5 (x + 10)}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} = 10^{0} (5 (x + 10))$

Paso 5

Simplifica $10^{0} (5 (x + 10))$ .

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} = 1 (5 (x + 10))$

Paso 5.1.2

Multiplica $5 (x + 10)$ por $1$ .

$x^{2} = 5 (x + 10)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 5 x + 5 \cdot 10$

Paso 5.3

Multiplica $5$ por $10$ .

$x^{2} = 5 x + 50$

Paso 6

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 5 x = 50$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 50$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 50$

Paso 8

Simplifica $x (x - 5)$ .

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 = 50$

Paso 8.2.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 5 x = 50$

Paso 9

Resta $50$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 5 x - 50 = 0$

Paso 10

Factoriza $x^{2} - 5 x - 50$ con el método AC.

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Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 50$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 10, 5$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 10) (x + 5) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 12

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 12.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 13

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 13.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 10) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 10, - 5$

Paso 15

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$ sea verdadera.

$x = 10$