Precálculo Ejemplos

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (x + 3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Paso 2.1.1.2

Simplifica $- 3 \ln (2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

Paso 2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

Paso 2.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

Paso 2.1.6

Mueve $8$ a la izquierda de $x + 1$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

Paso 5

Simplifica $e^{0} (8 (x + 1))$ .

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

Paso 5.1.2

Multiplica $8 (x + 1)$ por $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $8$ por $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

Paso 6.2.2

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Paso 6.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Paso 6.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Paso 6.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Paso 6.2.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Paso 6.2.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

Paso 6.2.3.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

Paso 6.3

Resta $8 x$ de $6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

Paso 7.2

Resta $9$ de $8$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Paso 8

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Paso 9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 9.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Paso 9.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 9.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 9.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 10

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 11

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$