Precálculo Ejemplos

$2 \ln (x + 2) = \ln (10 x)$

Paso 1

Simplifica $2 \ln (x + 2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(x + 2)}^{2}) = \ln (10 x)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

${(x + 2)}^{2} = 10 x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 2)}^{2} - 10 x = 0$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) - 10 x = 0$

Paso 3.1.2.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 2) + 2 (x + 2) - 10 x = 0$

Paso 3.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - 10 x = 0$

Paso 3.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Paso 3.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Paso 3.1.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Paso 3.1.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 10 x = 0$

Paso 3.1.2.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 - 10 x = 0$

Paso 3.1.3

Resta $10 x$ de $4 x$ .

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Resta $16$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 5.23606797 \dots, 0.76393202 \dots$