Precálculo Ejemplos

$2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{5}$ .

$x (2 x^{4}) - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- 15 x^{3}$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) - 27 x = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $- 27 x$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2})$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Paso 1.1.5

Factoriza $x$ de $x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Paso 1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (2 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Paso 1.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Paso 1.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ y cuya suma es $b = - 15$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $- 15$ de $- 15 u$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Paso 1.4.1.2

Reescribe $- 15$ como $3$ más $- 18$

$x (2 u^{2} + (3 - 18) u - 27) = 0$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 u^{2} + 3 u - 18 u - 27) = 0$

Paso 1.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x ((2 u^{2} + 3 u) - 18 u - 27) = 0$

Paso 1.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (u (2 u + 3) - 9 (2 u + 3)) = 0$

Paso 1.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 3$ .

$x ((2 u + 3) (u - 9)) = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 9)) = 0$

Paso 1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Paso 1.7

Factoriza.

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Paso 1.7.1

Factoriza.

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Paso 1.7.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x ((2 x^{2} + 3) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Paso 1.7.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Establece $2 x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2 x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$2 x^{2} + 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = - 3$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.4.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.2.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 4.2.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 4.2.4.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 4.2.4.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 4.2.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.2.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.2.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 4.2.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Paso 4.2.4.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 4.2.4.7

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Paso 4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Paso 4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Paso 4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}, - 3, 3$