Precálculo Ejemplos

3 = \log_{x} (512)

$3 = \log_{x} (512)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ .

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$

Paso 2

Reescribe

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si

x

$x$ y

b

$b$ son números reales positivos y

b \neq 1

$b \neq 1$ , entonces

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ es equivalente a

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

x^{3} = 512

$x^{3} = 512$

Paso 3

Resuelve

x

$x$

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Paso 3.1

Resta

512

$512$ de ambos lados de la ecuación.

x^{3} - 512 = 0

$x^{3} - 512 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe

512

$512$ como

8^{3}

$8^{3}$ .

x^{3} - 8^{3} = 0

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde

a = x

$a = x$ y

b = 8

$b = 8$ .

(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Mueve

8

$8$ a la izquierda de

x

$x$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.2

Eleva

8

$8$ a la potencia de

2

$2$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Paso 3.4

Establece

x - 8

$x - 8$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 3.4.1

Establece

x - 8

$x - 8$ igual a

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

Paso 3.4.2

Suma

8

$8$ a ambos lados de la ecuación.

x = 8

$x = 8$

x = 8

$x = 8$

Paso 3.5

Establece

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 3.5.1

Establece

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ igual a

0

$0$ .

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ en

x

$x$ .

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Paso 3.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.2.2

Sustituye los valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = 8

$b = 8$ y

c = 64

$c = 64$ en la fórmula cuadrática y resuelve

x

$x$ .

\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1

Eleva

8

$8$ a la potencia de

2

$2$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Multiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 64

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Resta

256

$256$ de

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.4

Reescribe

- 192

$- 192$ como

- 1 (192)

$- 1 (192)$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.5

Reescribe

\sqrt{- 1 (192)}

$\sqrt{- 1 (192)}$ como

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.6

Reescribe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ como

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.7

Reescribe

192

$192$ como

8^{2} \cdot 3

$8^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.5.2.3.1.7.1

Factoriza

64

$64$ de

192

$192$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.7.2

Reescribe

64

$64$ como

8^{2}

$8^{2}$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.9

Mueve

8

$8$ a la izquierda de

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.2

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.5.2.3.3

Simplifica

\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Paso 3.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ verdadera.

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$