Precálculo Ejemplos

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) + \sqrt{3} = 0$

Paso 1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$

Paso 2

Divide cada término en $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (x - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x - \frac{π}{4} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{3}$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Paso 5.2

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.3

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 5.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 4 π + π \cdot 3}{12}$

Paso 5.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{- 4 π + 3 \cdot π}{12}$

Paso 5.6.3

Suma $- 4 π$ y $3 π$ .

$x = \frac{- π}{12}$

Paso 5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{π}{12}$

Paso 6

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 7.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{4}$

Paso 7.3.2

Para escribir $\frac{4 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.3.3

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.4.1

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.3.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.3.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 7.3.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 7.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{4 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Paso 7.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.6.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{16 π + π \cdot 3}{12}$

Paso 7.3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{16 π + 3 \cdot π}{12}$

Paso 7.3.6.3

Suma $16 π$ y $3 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Paso 8

Obtén el período de $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 9.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{12}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{12} + 2 π$

Paso 9.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 9.3

Combina fracciones.

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Paso 9.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

Paso 9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$\frac{24 π - π}{12}$

Paso 9.4.2

Resta $π$ de $24 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Paso 9.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{23 π}{12}$

Paso 10

El período de la función $\sin (x - \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$