Precálculo Ejemplos

$2 \log_{4} (x) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $2 \log_{4} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{4} (x^{2}) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Simplifica $3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

El logaritmo en base $4$ de $2$ es $\frac{1}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + \log_{4} (8)$

Paso 2.1.1.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3}{2} + \log_{4} (8)$

Paso 2.1.1.3

El logaritmo en base $4$ de $8$ es $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3 + 3}{2}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma $3$ y $3$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{6}{2}$

Paso 2.1.2.2.2

Divide $6$ por $2$ .

$\log_{4} (x^{2}) = 3$

Paso 3

Escribe en formato exponencial.

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Paso 3.1

Para ecuaciones logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ tal que $x > 0$ , $b > 0$ y $b \neq 1$ . En este caso, $b = 4$ , $x = x^{2}$ y $y = 3$ .

$b = 4$

$x = x^{2}$

$y = 3$

Paso 3.2

Sustituye los valores de $b$ , $x$ y $y$ en la ecuación $b^{y} = x$ .

$4^{3} = x^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} = 4^{3}$ .

$x^{2} = 4^{3}$

Paso 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4^{3}}$

Paso 4.3

Simplifica $\pm \sqrt{4^{3}}$ .

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Paso 4.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Paso 4.3.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 4.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 8$

Paso 4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 4.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \log_{4} (x) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$ sea verdadera.

$x = 8$