Precálculo Ejemplos

$2 e^{2 x} - 11 e^{x} + 5 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - 11 e^{x} + 5 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 11 u + 5 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 u$ .

$2 u^{2} - 11 u + 5 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 11$ como $- 1$ más $- 10$

$2 u^{2} + (- 1 - 10) u + 5 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 1 u - 10 u + 5 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} - 1 u) - 10 u + 5 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 1) - 5 (2 u - 1) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 5) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 5) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} - 5 = 0$

Paso 3

Establece $2 e^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 e^{x} - 1$ igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 e^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 e^{x} = 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 e^{x} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 e^{x} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 3.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 3.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 4

Establece $e^{x} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $e^{x} - 5$ igual a $0$ .

$e^{x} - 5 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $e^{x} - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = 5$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Paso 4.2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Paso 4.2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (5)$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 5) = 0$ verdadera.

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (5)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (5)$

Forma decimal:

$x = - 0.69314718 \dots, 1.60943791 \dots$