Precálculo Ejemplos

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $2 \log_{2} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

Paso 3

Reescribe $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

Paso 5

Simplifica $2^{4} (x + 5)$ .

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Paso 5.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$x^{2} = 16 (x + 5)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

Paso 5.3

Multiplica $16$ por $5$ .

$x^{2} = 16 x + 80$

Paso 6

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 16 x = 80$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x^{2} - 16 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 16 x = 80$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $- 16 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$x (x - 16) = 80$

Paso 8

Simplifica $x (x - 16)$ .

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

Paso 8.2.2

Mueve $- 16$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 16 x = 80$

Paso 9

Resta $80$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

Paso 10

Factoriza $x^{2} - 16 x - 80$ con el método AC.

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Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 80$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 20, 4$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 20) (x + 4) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 12

Establece $x - 20$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 20$ igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

Paso 12.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 20$

Paso 13

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 13.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 20) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 20, - 4$

Paso 15

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ sea verdadera.

$x = 20$