Precálculo Ejemplos

$2 \cos^{3} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 1

Factoriza $2 \cos^{3} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1$ .

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Paso 1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \cos^{3} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\cos^{2} (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Paso 1.4

Factoriza.

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Paso 1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 3

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 3.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 3.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 3.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 3.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 3.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 3.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 3.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 3.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 1$

Paso 4.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 4.2.4

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 4.2.5

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 4.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 4.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 5.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 5.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 5.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

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Paso 7.1

Consolida $π + 2 π n$ y $2 π n$ en $π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.2

Consolida $π n$ y $2 π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, π n$ , para cualquier número entero $n$