Precálculo Ejemplos

$10 e^{x} - 15 - 45 e^{- x} = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$10 e^{x} - 15 - 45 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$10 u - 15 - 45 u^{- 1} = 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 u - 15 - 45 \frac{1}{u} = 0$

Paso 3.2

Combina $- 45$ y $\frac{1}{u}$ .

$10 u - 15 + \frac{- 45}{u} = 0$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$

Paso 4

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 1, u, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$ por $u$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$ por $u$ .

$10 u \cdot u - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$10 (u \cdot u) - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$10 u^{2} - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{45}{u}$ al numerador.

$10 u^{2} - 15 u + \frac{- 45}{u} u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$10 u^{2} - 15 u + \frac{- 45}{u} u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$10 u^{2} - 15 u - 45 = 0 u$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Multiplica $0$ por $u$ .

$10 u^{2} - 15 u - 45 = 0$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Factoriza $5$ de $10 u^{2} - 15 u - 45$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1.1

Factoriza $5$ de $10 u^{2}$ .

$5 (2 u^{2}) - 15 u - 45 = 0$

Paso 4.3.1.1.2

Factoriza $5$ de $- 15 u$ .

$5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u) - 45 = 0$

Paso 4.3.1.1.3

Factoriza $5$ de $- 45$ .

$5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u) + 5 (- 9) = 0$

Paso 4.3.1.1.4

Factoriza $5$ de $5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u)$ .

$5 (2 u^{2} - 3 u) + 5 (- 9) = 0$

Paso 4.3.1.1.5

Factoriza $5$ de $5 (2 u^{2} - 3 u) + 5 (- 9)$ .

$5 (2 u^{2} - 3 u - 9) = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ y cuya suma es $b = - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 u$ .

$5 (2 u^{2} - 3 u - 9) = 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $3$ más $- 6$

$5 (2 u^{2} + (3 - 6) u - 9) = 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (2 u^{2} + 3 u - 6 u - 9) = 0$

Paso 4.3.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$5 ((2 u^{2} + 3 u) - 6 u - 9) = 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$5 (u (2 u + 3) - 3 (2 u + 3)) = 0$

Paso 4.3.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 3$ .

$5 ((2 u + 3) (u - 3)) = 0$

Paso 4.3.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$5 (2 u + 3) (u - 3) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $2 u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Establece $2 u + 3$ igual a $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Paso 4.3.3.2

Resuelve $2 u + 3 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 3$

Paso 4.3.3.2.2

Divide cada término en $2 u = - 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.2.2.1

Divide cada término en $2 u = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.3.3.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Paso 4.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3}{2}$

Paso 4.3.4

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 (2 u + 3) (u - 3) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{3}{2}, 3$

Paso 5

Sustituye $- \frac{3}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

Paso 6

Resuelve $- \frac{3}{2} = e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

Paso 6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

Paso 6.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \frac{3}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.4

No hay soluciones para $e^{x} = - \frac{3}{2}$

No hay solución

Paso 7

Sustituye $3$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Paso 8

Resuelve $3 = e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Paso 8.3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Paso 8.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Paso 8.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (3)$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (3)$

Forma decimal:

$x = 1.09861228 \dots$