Precálculo Ejemplos

$x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Paso 1.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{5} - 8 \cdot 2^{4} + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 - 8 \cdot 2^{4} + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$32 - 8 \cdot 16 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 8$ por $16$ .

$32 - 128 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.5

Resta $128$ de $32$ .

$- 96 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 96 + 22 \cdot 8 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $22$ por $8$ .

$- 96 + 176 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.8

Suma $- 96$ y $176$ .

$80 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$80 - 26 \cdot 4 + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.10

Multiplica $- 26$ por $4$ .

$80 - 104 + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.11

Resta $104$ de $80$ .

$- 24 + 21 \cdot 2 - 18$

Paso 1.1.3.12

Multiplica $21$ por $2$ .

$- 24 + 42 - 18$

Paso 1.1.3.13

Suma $- 24$ y $42$ .

$18 - 18$

Paso 1.1.3.14

Resta $18$ de $18$ .

$0$

Paso 1.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18}{x - 2}$

Paso 1.1.5

Divide $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ por $x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

Paso 1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{4}$
	$x$	-	$2$		$x^{5}$	-	$8 x^{4}$	+	$22 x^{3}$	-	$26 x^{2}$	+	$21 x$	-	$18$

Paso 1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Paso 1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{5} - 2 x^{4}$ .

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Paso 1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

Paso 1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

Paso 1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

Paso 1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

Paso 1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{4} + 12 x^{3}$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

Paso 1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

Paso 1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

Paso 1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

Paso 1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

Paso 1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{3} - 20 x^{2}$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

Paso 1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

Paso 1.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

Paso 1.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

Paso 1.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

Paso 1.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 12 x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

Paso 1.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

Paso 1.1.5.21

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

Paso 1.1.5.22

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

Paso 1.1.5.23

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Paso 1.1.5.24

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x - 18$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Paso 1.1.5.25

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

$0$

Paso 1.1.5.26

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x + 9$

Paso 1.1.6

Escribe $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Paso 1.2

Reagrupa los términos.

$(x - 2) (- 6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Paso 1.3

Factoriza $- 6 x$ de $- 6 x^{3} - 6 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Factoriza $- 6 x$ de $- 6 x^{3}$ .

$(x - 2) (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza $- 6 x$ de $- 6 x$ .

$(x - 2) (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x \cdot 1 + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza $- 6 x$ de $- 6 x (x^{2}) - 6 x (1)$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Paso 1.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Paso 1.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 10 u + 9) = 0$

Paso 1.6

Factoriza $u^{2} + 10 u + 9$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $10$ .

$1, 9$

Paso 1.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 9)) = 0$

Paso 1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 1.8

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 6 x (x^{2} + 1)$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 1.8.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 x + x^{2} + 9)) = 0$

Paso 1.9

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 u + u^{2} + 9)) = 0$

Paso 1.10

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.10.1

Reorganiza los términos.

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 6 u + 9)) = 0$

Paso 1.10.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})) = 0$

Paso 1.10.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Paso 1.10.4

Reescribe el polinomio.

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Paso 1.10.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 3$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) {(u - 3)}^{2}) = 0$

Paso 1.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.11.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2}) = 0$

Paso 1.11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 2) (x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 4.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 5

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 2, i, - i, 3$